تصحيح مباراة توظيف الأساتذة – دورة نونبر 2019
التخصص: الرياضيات
Partie I: Épreuve de Mathématiques (Q1 – Q20)
Justification: Basée sur le programme du lycée et l’analyse mathématique rigoureuse.
Note sur la Q8 : Le corrigé officiel indique la réponse B. Cependant, mathématiquement, l’assertion “$\sum \frac{1}{n \ln n}$ est convergente” est fausse (Série de Bertrand divergente). Il s’agit probablement d’une coquille dans l’énoncé original.
| Q | Rep. | Justification / Explication |
|---|---|---|
| Q1 | B | Logique : Contraposée du principe de récurrence. Si $P(n)$ était vraie pour tout $n \le n_0$, alors $P(n_0)$ serait vraie, ce qui contredit l’énoncé. |
| Q2 | A | Topologie : La propriété définit la convexité dans $\mathbb{R}$, caractéristique fondamentale d’un intervalle : $(a |
| Q3 | D | Fonctions Complexes : $f(z)=z^2$ dans $\mathbb{C}$ est surjective (tout complexe a une racine) mais non injective (car $(-z)^2 = z^2$). |
| Q4 | A | Combinatoire : Dérivée du binôme $(x+3)^n$. Pour $x=1$, la somme vaut $n(1+3)^{n-1} = n4^{n-1}$. |
| Q5 | A | Suites : Point fixe $l \approx -1.8$. $|f'(l)| = |-e^{-l}| > 1$. Le point fixe est répulsif, la suite diverge. |
| Q6 | D | Suites Linéaires : Éq. caractéristique $r^2 – 10r + 9 = 0 \Rightarrow r \in \{1, 9\}$. Somme géométrique donne un terme en $9^{n+1}$. |
| Q7 | C | Séries : $\sum \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ converge, mais $\sum \ln(1+\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}})$ diverge (terme en $-1/2n$). Pas de même nature. |
| Q8 | B | Voir note ci-dessus. Corrigé officiel : B. |
| Q9 | B | Continuité : $\lim_{x \to 1} \exp(\frac{\ln|x|}{x-1}) = e^1 = e$. Prolongement possible. |
| Q10 | B | Arithmétique : Théorème de Dirichlet. Infinité de premiers de forme $4n+3$ car $pgcd(4,3)=1$. |
| Q11 | B | Analyse : Croissance stricte sur l’ouvert $]a,b[$ + continuité sur le fermé implique croissance stricte sur le fermé. |
| Q12 | B | DL : Identification du coeff de $x^2$ dans le DL composé : $1+2\cos(2\alpha)$. |
| Q13 | C | Séries alternées : La somme est encadrée par deux sommes partielles consécutives $S_{2n-1}$ et $S_{2n}$. |
| Q14 | C | Intégration : Intégrable car $\sim 1/x^2$ en $+\infty$ et $\sim \ln x$ en $0$. |
| Q15 | D | Complexes : Les solutions sont $\{0, 1, i, -i\}$. Vérification par calcul direct. |
| Q16 | A | Calcul Intégral : Intégration par parties avec $u=x/\cos x$. |
| Q17 | B | Algèbre (Groupes) : $2\mathbb{Z} + 3\mathbb{Z} = \mathbb{Z}$ d’après Bézout ($pgcd(2,3)=1$). |
| Q18 | D | Géométrie Espace : Intersection unique au point $(0, -3, 6)$. |
| Q19 | C | Limites : Comportement asymptotique de l’intégrale mène à $\ln 2$. |
| Q20 | C | Probabilités : $p=1/6$ (doublets). $q=18/36=1/2$ (parité de la somme). |
الجزء الثاني: ديداكتيك الرياضيات
تحليل وفق عناصر الإجابة الرسمية والوثائق المرفقة.
1. تحليل المنهاج (الوثيقة 1)
- المستوى الدراسي: الجذع المشترك العلمي أو التكنولوجي. لأن “التحاكي” (Homothétie) يُعرف متجهياً لأول مرة في هذا المستوى.
- التحويل المقصود: هو تطبيق تقابلي من المستوى نحو نفسه (التماثل، الإزاحة، التحاكي).
- الصيغ التحليلية: تم استبعادها (Hors programme) لتفضيل المقاربة المتجهية (Vectorielle) التي تنمي الحدس الهندسي لدى المتعلم قبل الغوص في الحسابات الجبرية.
2. تحليل الأنشطة (الوثيقة 2)
- نشاط 1 (التحاكي): يهدف لبناء مفهوم التحاكي واكتشاف خاصية الحفاظ على الاستقامية والتوازي ($\vec{A’B’} = k\vec{AB}$).
- نشاط 2 (مستقيم أولر): يهدف لإثبات استقامية النقط الهامة في المثلث (المركز القائم، مركز الثقل، ومركز الدائرة المحيطة) باستخدام التحاكي.
- الصعوبات المتوقعة: صعوبة في “رؤية” التحويل الهندسي، وصعوبة الانتقال من الإطار الهندسي الصرف إلى الإطار المتجهي.
3. تحليل وضعية المتعلمين (أخطاء التلاميذ)
- الجواب الصحيح: جواب التلميذ B هو الصحيح.
- تحليل الخطأ (التلميذ A): اعتمد على “المعاينة بالعين” من الشكل، فظن أن المستقيمات ارتفاعات بينما هي واسطات، وهذا خطأ شائع ناتج عن “عقدة الشكل”.
- تحليل الصواب (التلميذ B): استخدم خصائص التماثل المحوري بشكل سليم (محور تماثل المثلث متساوي الساقين يمر من مركز الدائرة المحيطة).
- الأخطاء الشائعة في التدريس: الخلط بين الصورة والأصل، نسيان القيمة المطلقة في نسبة التحاكي، والاعتماد المفرط على القياس بالمسطرة بدل البرهان.