Correction Détaillée : Mathématiques

Analyse : C'est une forme indéterminée \(1^\infty\). Soit \(L = \lim_{x\to 0^+} (\cos x)^{1/x^2}\). On passe à la forme exponentielle : \[ (\cos x)^{1/x^2} = \exp\left( \frac{\ln(\cos x)}{x^2} \right) \] On utilise le développement limité (DL) de \(\cos x\) en 0 : \[ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2) \] D'où \(\ln(\cos x) = \ln\left(1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)\right) \sim -\frac{x^2}{2} \). L'exposant tend vers \(\frac{-x^2/2}{x^2} = -\frac{1}{2}\). \[ \text{Limite} = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}} = \sqrt{e^{-1}} \]

Analyse : La relation \(u_{n+1} - u_n = \frac{(\ln 2)^n}{n!}\) définit une suite télescopique. \[ u_n = u_0 + \sum_{k=0}^{n-1} (u_{k+1}-u_k) = 0 + \sum_{k=0}^{n-1} \frac{(\ln 2)^k}{k!} \] Quand \(n \to +\infty\), cette somme est la définition de la série de l'exponentielle \(e^x\) évaluée en \(x = \ln 2\). \[ \lim u_n = e^{\ln 2} = 2 \]

Analyse : La variable \(X\) suit une loi Hypergéométrique \(\mathcal{H}(N=200, n=16, p=1/4)\). L'espérance est linéaire (identique à celle de la loi binomiale associée) : \[ E(X) = n \times p = 16 \times \frac{50}{200} = 16 \times \frac{1}{4} = 4 \]